Цена игры

Очевидно, что Васе нужна стратегия, в которой он не более двух раз “проваливается”, то есть называет число, большее задуманного Петей (так как после третьего "провала"весь фонд уходит Пете). Сначала предложим стратегию, позволяющую Васе гарантированно получить указанное количество фунтиков, а потом докажем, что это максимальное количество, которое он может гарантировать.

Стратегия Васи с одним “провалом”: пусть (т.е. наименьшее натуральное , при котором ). Шаги до “провала”: Вася называет числа пока Петя не скажет, что для очередного (первый "провал") или что угадано число Сумма арифметической прогрессии а значит, такой момент обязательно наступит. Если это в момент первого "провала то в этот момент Петя получает из фонда фунтиков, в фонде остаётся фунтиков, а Вася приступает к выполнению шагов до "угадал".

Шаги до “угадал”: Вася называет (не более чем последовательные числа от до (которое меньше ) до тех пор, пока Петя не скажет, что задуманное число угадано, а Вася, сыграв раундов, получает из фонда фунтиков.

Докажем, что такая стратегия оптимальна. Пусть существует стратегия для Васи, позволяющая гарантированно получить больше фунтиков. Эта стратегия предписывает возрастающую последовательность чисел где и для любого Но так как то а значит, остались непроверенные числа от до и такая стратегия не может гарантированно улучшить результат.