Анализ позиций

Пронумеруем клетки в каждом столбце сверху вниз числами Играем за первого игрока. Сначала перекрасим две клетки в произвольном столбце. Каждый ход будем делать по следующему правилу. Если второй игрок ходит в клетки с номерами в некотором столбце, то мы ходим в клетки с номерами для любого в некотором другом столбце. Иначе после хода второго проверяем, есть ли столбцы, в которых перекрашены клетки , а клетка — пустая. В таких столбцах выбираем клетки с номерами Мы выберем не больше клеток, так как свои ходом второй игрок может создать не более двух таких столбцов. Далее, если мы выбрали меньше клеток, то до клеток дополним любыми синими клетками с номерами и перекрасим их. Делам так, пока можем.

Предположим, что мы не можем сделать очередной ход по нашему правилу. Заметим, что до предыдущего хода второго игрока не меньше половины перекрашенных клеток имели номер Тогда всего покрашено не более клетки. То есть игра еще не закончена, поскольку есть строка, в которой не перекрашены хотя бы клетки. С другой стороны до последнего хода второго игрока количество не перекрашенных клеток в первой строке было четно. Если мы не можем сделать ход то это значит, что до этого второй игрок сделал ход Тогда столбцов с перекрашенными клетками не образовалось. То есть в первой строке осталась синяя клетка, ее можно перекрасить вместе с другой клеткой из ее столбца — противоречие. Если же мы не можем перекрасить две синие клетки из первой строки, то это означает, что первая строка полностью закрашена.

Далее будем ходить произвольно. Предположим, что в некоторый момент мы не можем сделать ход. Тогда в каждой строке осталось не более одной синей клетки, но при этом первая строка заполнена. Количество синих клеток всегда остается нечетным, причем в данный момент их не больше Тогда ровно клетка не перекрашена. А значит, всего было совершено ходов то есть последний ход сделали мы — противоречие.