Анализ позиций

Сначала покажем, как Пете занумеровать вершины -угольника так, чтобы Вася не смог посетить больше вершин. Покрасим все вершины -угольника в цветов по очереди (). Расставим в вершинах первого цвета числа от до во втором — от до и так далее. Заметим, что при такой нумерации Вася каждым ходом будет менять цвет вершины, в которой находится фишка. Также очевидно, что цвет не может встретиться дважды, поскольку после первого попадания фишки в вершину этого цвета, она будет прыгать только по цветам с большими номерами. Таким, образом, фишка посетит не больше клетки каждого цвета, а следовательно, не больше вершин всего.

Легко понять, что фишка всегда сможет посетить клеток. Достаточно поместить ее в вершину с наименьшем номером среди некоторых последовательных вершин, а затем пропрыгать по всем этим вершинам в порядке возрастания их номеров.

Во втором пункте покажем, как нумеровать, чтобы фишка не могла побывать более чем в вершинах. Будем аналогично предыдущему пункту красить вершины в цветов (), пока не покрасим вершин. останется не покрашенными вершин. Их снова будем красить в цвета от до Далее в первый цвет будем отправлять все наименьшие номера, пока его не заполним, затем заполним второй цвет, и так далее. По тем же рассуждениям фишка не сможет посетить больше вершины каждого цвета.

Предположим, что Вася не может так выбрать начальную вершину, чтобы фишка могла посетить вершин. Рассмотрим вершину с наибольшим номером, и подряд идущих вершин где она крайняя (пусть ). Все остальные вершины обозначим по кругу в порядке Посмотрим на вторую по величине вершину среди этих Если она не крайняя, то можно применить для этих вершин то же рассуждение, что и в предыдущем пункте. Значит, крайняя. Тогда рассмотрим прямоугольник . Если то для новых вершин можно опять же применить рассуждение из предыдущего пункта (мы не будем последовательно ходить между крайними вершинами, поскольку между ними вершина ). Аналогично рассмотрев наборы вершин получаем, что среди чисел число наибольшее, но тогда и — наибольшее среди чисел Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что — наибольшие среди Но тогда больше что противоречит выбору