Равновесия в играх
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Иван и Кощей играют в следующую игру. Изначально на доске записан многочлен 
За один ход можно заменить многочлен 
записанный на доске, на многочлен 
где 
— степень многочлена 
а 
— один из его вещественных корней.
Игроки ходят по очереди, начинает Иван. Выигрывает тот игрок, после хода которого на доске будет написан многочлен, не имеющий
вещественных корней. Сможет ли Иван победить Кощея?
Источники:
Подсказка 1
Вспомним полезную теорему про многочлен нечётной степени! Что в таком случае можно сказать про Ивана?
Подсказка 2
Да, он точно не проиграет, ведь на его ходе всегда будет получаться многочлен нечётной степени, у которого всегда есть хотя бы один вещественный корень! А что можно сказать про Кащея? Для ответа на этот вопрос: рассмотрите f(0), где f - многочлен чётной степени, с положительным старшим коэффициентом!
Подсказка 3
Да, поскольку у нас изначально многочлен равен x-1(корень 1), то Кащей может на каждом шаге брать вместо a - положительный корень предыдущего многочлена(который всегда существуют)! А тогда, у многочлена Кащея тоже всегда будет вещественный корень!
Ивану достаётся многочлен нечетной степени, поэтому он не может проиграть. Однако Кощей тоже не может проигрывать: для этого ему
достаточно каждый раз выбирать положительный корень. Заметим, что свободный член всегда равен 
Легко проверить, что при такой
стратегии Кощея Ивану будут доставаться многочлены нечетной степени с чередующимися знаками коэффициентов (старший
- положительный), и поэтому у них есть лишь положительные корни; а Кощею будут доставаться многочлены четной
степени с положительным старшим коэффициентом и свободным членом 
поэтому у них существует положительный
корень
Нет
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
