Передача хода

Заметим, что так как игра конечна, то одна из компаний точно имеет выигрышную стратегию. Покажем, что это не может быть вторая компания. Предположим противное.

Тогда первым ходом за первую компанию поставим фонарь в правый нижний узел сетки. Этот фонарь не освещает других перекрестков, а любой другой фонарь освещает тот перекресток, на котором он стоит.

Теперь на каждый ход второго игрока будем отвечать согласно его выигрышной стратегии, то есть ставить фонарь в ту клетку, в которую при выигрышной стратегии на очередном шаге поставил бы фонарь второй игрок, если бы нашего первого хода не было.

Заметим, что такой ход всегда возможен: первый нами поставленный фонарь на игру не влияет. Ведь никакие другие перекрестки он не освещает, а тот перекресток, в котором он стоит, в любом случае сразу бы осветили, значит, в стратегии второго игрока не может быть хода, на котором он ставит фонарь в правый нижний узел. Поэтому у нас на месте первой компании всегда есть ход, значит, мы побеждаем.

Итак, мы получили противоречие, значит, у второй компании выигрышной стратегии нет. А так как при правильной игре всегда выигрывает одна и та же компания, то это первая компания, что мы и доказывали.