Передача хода

Заметим, что игра конечна. Когда-нибудь наступит момент, когда все четные (по четному числу камней в каждой кучке) расположения будут уже использованы (встречались в процессе игры), а из любого нечетного расположения можно попасть только в четное (у нечетного числа есть только нечетные делители).

Тогда у одного из игроков точно есть выигрышная стратегия. Докажем, что второй не может иметь выигрышной стратегии. Предположим, что у второго есть выигрышная стратегия. Играя за первого игрока, сделаем такой первый шаг: переложим 1 камень из кучки 42 в кучку 30. Тогда второй игрок может походить единственным образом: переложить один камень из кучки 41 в кучку 31 (так как это простые числа, а расположение (30, 42) уже нельзя повторять). Тогда у второго есть ответные ходы на ходы первого из начальной позиции (32, 40) с учетом того, что нельзя попадать в позицию (30, 42), ведущие к выигрышу. Тогда, используя эту стратегию, начнем игру за первого по-другому: первым шагом переложим 2 камня из кучки 42 в кучку 30. Попадаем в игру с начальным условием (32, 40) с учетом того, что нельзя попадать в позицию (30, 42), где начинает ходить второй. Будем использовать выигрышную стратегию второго и победим. Значит, первый имеет выигрышную стратегию. Противоречие.

Доказали, что выигрышная стратегия обязательно только у первого.