Передача хода

Так как игра конечна, то один из игроков имеет или выигрышную, или хотя бы непроигрышную (ведущую к ничье) стратегию. Докажем, что у второго игрока, играющего ноликами, нет выигрышной стратегии.

Итак, пусть у ноликов есть выигрышная стратегия. Тогда она есть и у крестиков. Рассмотрим следующую стратегию для крестиков. Первый ход делается карандашом и как бы не замечается в дальнейшем. Условно говоря, крестики смотрят на позицию через очки, в которых карандашный крестик не виден, а видны только следующие («чернильные») и применяют стратегию для ноликов (только вместо крестиков ставятся нолики и наоборот; можно сказать, что через очки чернильные крестики видны как нолики, а нолики — как крестики).

Подробно докажем корректность такой стратегии. Во-первых, стратегия может предписывать поставить чернильный крестик на место карандашного, но правилами игры требуется на каждом шаге ставить новый крестик. Тогда мы должны обвести карандашный крестик чернилами, но взамен на свободном месте поставить новый карандашный крестик. Тогда все правила игры (и основной, и имитируемой игры за второго игрока) будут соблюдены.

Может оказаться, что свободного места нет, тогда позиция в реальной игре соответствует желаемой позиции в воображаемой игре, и потому уже является выигрышной.

Во-вторых, наличие дополнительного крестика может прервать игру раньше времени — но в этом случае крестики просто выиграют раньше.