Передача хода

Так как игра конечна, то один из игроков имеет выигрышную стратегию. Докажем, что второй не может иметь выигрышной стратегии. Предположим, что она у него есть, и будем играть за первого. Первым ходом напишем число 1. Второй игрок своим ходом напишет какое-то однозначное число (большее 1). С этого момента у второго игрока есть ответные ходы на каждый наш ход, соответствующие выигрышной стратегии. Тогда можем начать игру по-другому: первым ходом напишем однозначное число . Теперь будем отвечать на ходы второго по его же стратегии и победим, так как игра в первом случае и во втором абсолютно одинаковая (первая единица в первом случае не влияет на дальнейшую игру), а игроки, совершающие ход после выписанного числа — разные. Значит, у первого тоже есть выигрышная стратегия. Противоречие.

Доказали, что первый игрок имеет выигрышную стратегию.