Функция Эйлера и теорема Эйлера из ТЧ

Докажем неравенство для каждого случая, когда для некоторого простого и натурального Действительно,

верно при поскольку При неравенство имеет вид

что верно при

Теперь докажем утверждение задачи для произвольного Пусть

Тогда, в силу мультипликативности функции Эйлера, имеем

Наконец, по доказанному неравенству для степеней простых чисел, данное значение не меньше, чем

что доказывает исходное неравенство, если среди простых множителей нет двойки или она хотя бы во второй степени. Пусть теперь есть двойка в точности в первой степени. Тогда хотим улучшить оценку для какого-то простого на Если то и Если же и то Окончательно, заметим, что раз то в нём или двойка в степени не менее или есть простое число, большее или тройка в степени больше так что оценка верна.