Функция Эйлера и теорема Эйлера из ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки взаимно простых в совокупности натуральных чисел 
таких, что для любого натурального 
число
делится на 
.
Источники:
Подсказка 1
Необходимо подобрать удобный показатель. Для какого n левая часть ведет себя понятным образом по модулю ab+bc+ca?
Подсказка 2
Существует показатель n, по которому каждое из n-степеней чисел a, b, c сравнимо с 1. Как он определяется?
Подсказка 3
Значением функции Эйлера в точке ab+bc+ca. Какой вывод можно сделать из рассмотрения данного показателя?
Подсказка 4
Несложно показать, что a и ab+bc+ca взаимно просты, аналогично для b, c. Тогда при данном показателе имеем 9 кратно ab+bc+ca. Осталось найти подходящие a, b, c.
Для начала покажем, что 
Пусть 
и 
Тогда или 
или 
делится на 
Но тогда так как
то все три переменные делятся на 
что невозможно по условию. Значит, 
Подставим 
получим
Отсюда получаем, что 
Если 
то все переменные равны 
Если все переменные хотя
бы 
то 
Пусть 
тогда 
откуда получаем ещё одно решение
Осталось убедиться, что эти решения подходят. Действительно, 
и 
так как
, 
, 
, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
