Функция Эйлера и теорема Эйлера из ТЧ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное 
Докажите, что число
делится на 
Подсказка 1
Сначала разложим на множители 1989 = 9 × 13 × 17. Тогда достаточно доказать делимость указанного числа на все числа 9, 13 и 17. Попробуем вынести за скобки общий множитель. Тогда у нас получится произведение степени числа n на разность степени числа n и единицы. Как можно доказать делимость на 9?
Подсказка 2
Верно! Если n делится на 3, то вынесенный множитель делится на 9. Если же не делится, то достаточно доказать, что показатель степени числа n из скобки делится на функцию Эйлера числа от числа 9 (она равна 6). Как это сделать?
Подсказка 3
Верно! Это выражение делится на 2, поскольку числа в разности имеют одну и ту же четность. Для делимости на 3 снова выносим общий множитель. Если n кратно 3, то все получилось, а если же не делится, то в скобке показатель степени числа n делится на 2, и по малой теореме Ферма мы получаем делимость. Можно ли аналогично доказать, что исходное выражение в задаче делится на 13 и 17?
Заметим, что 
Отдельно покажем делимость на каждый множитель. Запишем выражение в виде
Докажем делимость на 
Если 
кратно 
то выражение поделится на 
В противном случае надо доказать, что 
делит
Для этого достаточно, чтобы 
делилось по теореме Эйлера на 
Делимость на 
очевидна, так как 
и 
имеют одну чётность. Если 
кратно 
то доказали. В противном случае запишем 
в виде 
и заметим,
что 
делится на 
Докажем делимость на 
Если 
кратно 
то доказали. В противном случае достаточно, чтобы 
делилось на
Делимость на 
мы доказали в предыдущем абзаце. Докажем делимость на 
Если 
чётно, то она очевидна. В противном
случае запишем 
в виде 
и поймём, что нам достаточно делимости 
на 
что является
правдой.
Докажем делимость на 
Если 
кратно 
то доказали. В противном случае достаточно, чтобы 
делилось на
Если 
чётно, то делимость очевидна. В противном случае достаточно доказать, что 
делится на 
Для этого
переберём нечётные остатки при делении на 
Если 
то всё очевидно. Если 
то 
Если посмотреть на цикл остатков степеней троек при делении на 
то можно видеть, что в 
при нечётных 
отсюда
следует делимость. Если 
то
Если 
то
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
