Тема . Остатки и сравнения по модулю

Китайская теорема об остатках

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#132586

При каких целых n  число n2+ 3n+ 1  делится на 55?

Показать ответ и решение

Чтобы число n2 +3n+ 1  делилось на 55,  оно должно делиться и на 5,  и на 11.

Сначала рассмотрим делимость на 5  :

 2             2
n + 3n+1 ≡(n− 1) ≡0  (mod 5).

Отсюда n≡ 1 (mod 5).

Для делимости на 11  :

 2          2
n + 3n+ 1≡ n − 8n +12≡ (n− 2)(n− 6)  (mod 11).

Отсюда n≡ 2 (mod 11)  или n≡ 6 (mod 11).

Для n ≡1 (mod 5)  и n≡ 2 (mod 11)  по китайской теореме об остатках существует единственное решение при n <55,  не трудно заметить, что это 46.

Для n ≡1 (mod 5)  и n≡ 6 (mod 11)  по китайской теореме об остатках существует единственное решение при n <55,  не трудно заметить, что это 6.

Ответ:

 n =55k+ 6  или n= 55k +46,  где k∈ ℤ.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!