Китайская теорема об остатках
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные 
и 
Известно, что для любого натурального 
число 
делится на 
Докажите, что
Подсказка 1
Попробуем доказать, что разность a и b сравнима с нулем по модулю какого-нибудь очень большого числа. Как от исходного условия перейти к исследованию разности?
Подсказка 2
Верно! Легко видеть с помощью простого вычитания делителя, что условие задачи эквивалентно тому, что разность n-ых степеней a и b делится на сумму n-ой степени b и n. Попробуем для произвольного простого числа p изготовить такое n, чтобы эта сумма на него делилась. Как это сделать?
Подсказка 3
Точно! Просто берем n, имеющее остаток -b по модулю p и остаток 1 по модулю p-1. Тогда легко показать по малой теореме Ферма, что сумма n-ой степени b и b делится на p. А что это означает для разности n-ый степеней a и b?
Ясно, что если 
делится на 
то и 
также делится на 
Рассмотрим произвольное простое
число 
Возьмём такое 
что 
и 
Благо, КТО позволит выбрать такое 
Заметим, что в этом
случае 
так как либо 
делит 
либо они взаимно просты и 
делится на 
тогда
вторая скобка по МТФ сравнима с 
Отсюда 
кратно 
то есть 
В силу выбора 
имеем
То есть 
для любого простого числа 
Отсюда нетрудно показать равенство 
и 
Возьмём
такое простое число, которое больше разности 
и 
Ясно, что в этом случае 
на него поделится лишь когда 
Что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
