Китайская теорема об остатках
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что натуральные 
для которых 
делится на 
образуют арифметическую прогрессию.
Подсказка 1
Разбираться сразу с делимостью на 30 сложно, поэтому попробуйте рассмотреть по отдельности простые делители: 2, 3 и 5. Какие значения n обращают nⁿ + 1 ≡ 0 (mod p) в верное для каждого из них? Как можно объединить результат?
Подсказка 2
Показательные и степенные функции по модулю часто становятся периодическими. Попробуйте рассмотреть nⁿ + 1 по модулю 10 и выяснить, повторяются ли остатки. Как можно это проверить?
Подсказка 3
Попробуйте доказать, что нужные n обязаны быть одновременно вида 10k – 1 и 3m – 1. Какие n этому удовлетворяют? Что можно сказать про арифметическую прогрессию, которую они образуют? Почему выходит именно арифметическая прогрессия?
Покажем, что остатки 
по модулю 
зацикливаются. Нетрудно убедиться в том, что 
а значит,
из чего следует, что 
Осталось вручную посчитать остатки в цикле и понять,
что 
делится на 
лишь при 
Теперь разберёмся с делимостью на 
Понятно, что 
не может делиться на 
Если 
то 
Если
же 
то 
Таким образом, 
то есть все нужные 
образуют арифметическую прогрессию, что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
