Тема . Остатки и сравнения по модулю

Обратные остатки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#118941

Даны натуральные числа a,  b  и c  такие, что ab+9b+ 81  и bc+ 9c+81  делятся на 101.  Докажите, что тогда и ca+ 9a +81  тоже делится на 101.

Показать доказательство

Так как 101  это простое число, то у всех ненулевых вычетов есть обратный. Тогда ab+9b+ 81 ≡   0⇒ b⁄≡   0,
          101      101  поэтому перейдём к обратному остатку

      −81− 9b
a ≡101 ---b---

Аналогично b+ 9  взаимно просто с 101,  откуда

                                     −81
bc+ 9c +81≡101 0⇒ c(b+9)≡101 − 81 ⇒ c≡101 b+-9

Тогда то, что нам нужно доказать, действительно, верно

ca +9a+ 81≡101 81(81+-9b)− 9⋅81-+81b+ 81 ≡101
              b(b+9)       b

812-+9⋅81b−-9⋅81b−-81b2−-812− 9⋅81b+-81b2+-9⋅81b
                  b(b+9)                   ≡101 0

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!