Обратные остатки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— простое число, а 
— такая несократимая дробь, что
Докажите, что 
делится на 
Подсказка 1
Исходное равенство можно рассматривать как сравнимость левой и правой части по модулю p, где каждая дробь a/b произведение a на остаток обратный b по данному модулю.
Подсказка 2
Часто суммы можно преобразовывать благодаря разделению слагаемых на пары. Как этот метод можно применить здесь?
Подсказка 3
Можно складывать слагаемые, которые соответствуют обратным остаткам, то есть сумма слагаемых 1/(x²+1)+1/(y²+1) по всем парам различных чисел x и y, для которых xy сравнимо с 1. Чему будет равна данная сумма, все ли слагаемые будут учтены?
Подсказка 4
После приведения к общему знаменателю, несложно показать, что 1/(x²+1)+1/(y²+1) сравнимо с 1 по модулю p. В сумме будут учтены все числа кроме -1, 1, для которых обратные совпадают с ними и 0, для которого обратного нет. Прибавьте к сумме единиц оставшиеся три слагаемые. Чему она равна?
Подсказка 5
Сумма сравнима с (p+1)/2, откуда m/n сравнимо c (p+1)/2, то есть 2m сравнимо с n(p+1), откуда явно следует требуемое.
Первое решение. Введём обозначение 
, для 
. Тогда рассматриваемое нами выражение равно
где 
— основной симметрический многочлен степени 
. Найдём многочлен, корнями которого являются 
, т. е.
Сделав замену 
, получим многочлен
Теперь, сделав обратную замену, для 
получаем
По теореме Виета
поэтому 
, и, поскольку 
не кратно 
, сокращение произойдёт на число, взаимно простое с 
, т. е.
.
_______________________________________________________________________________________
Второе решение. Рассмотрим дроби вида 
, входящие в нашу сумму, как дроби по модулю 
(значением дроби 
по модулю
, где 
, считается решение сравнения 
; при сложении обыкновенных дробей со знаменателями, не кратными 
,
соответствующие им дроби по модулю также складываются).
Как известно, все числа от 2 до 
можно разбить на пары 
в которых 
. Сложим члены, соответствующие
числам 
и 
которые составляют такую пару:
(так как 
). Складывая 
таких сумм и оставшиеся три слагаемых, получаем, что искомая сумма сравнима по
модулю 
с 
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
