Обратные остатки

Первое решение. Введём обозначение , для . Тогда рассматриваемое нами выражение равно

где — основной симметрический многочлен степени . Найдём многочлен, корнями которого являются , т. е.

Сделав замену , получим многочлен

Теперь, сделав обратную замену, для получаем

По теореме Виета

поэтому , и, поскольку не кратно , сокращение произойдёт на число, взаимно простое с , т. е. . _______________________________________________________________________________________

Второе решение. Рассмотрим дроби вида , входящие в нашу сумму, как дроби по модулю (значением дроби по модулю , где , считается решение сравнения ; при сложении обыкновенных дробей со знаменателями, не кратными , соответствующие им дроби по модулю также складываются).

Как известно, все числа от 2 до можно разбить на пары в которых . Сложим члены, соответствующие числам и которые составляют такую пару:

(так как ). Складывая таких сумм и оставшиеся три слагаемых, получаем, что искомая сумма сравнима по модулю с что и требовалось доказать.