18.28 Симметрия

При система не будет иметь 6 решений, следовательно, рассмотрим . Сделаем также замену , при которой число решений системы не изменится. Тогда из первого уравнения получим или . Из второго уравнения . Заметим, что если имеется решение , то имеется также решение , которое отлично от первого при . Решения получаются из следующих четырех систем:

При 1-я и 3-я системы одинаковы, 2-я и 4-я также одинаковы. Следовательно, так как каждая система имеет максимум 2 решения, суммарно мы получим максимум 4 решения. Нам это не подходит. Следовательно, . При этих ни у каких двух систем нет ни одного общего решения.

Система подобного вида имеет решения тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет решения (по обратной теореме Виета).

Выпишем дискриминанты для 1-й и 2-й систем, для 3-й и 4-й систем:

При имеем: , , причем заметим, что эти системы не имеют общий решений. Следовательно, мы уже имеем 4 решения. Нужно еще два. Значит нам подходят такие варианты: ; ; . Третий случай невозможен, а первые два задаются условием: