18.28 Симметрия

Заметим, что левые части равенств неотрицательны, следовательно, и правые должны быть неотрицательны, что выполняется для .

Преобразуем второе уравнение:

С помощью таких действий мы добились того, что второе уравнение зависит от тех же двух выражений с , что и первое уравнение. Система примет вид

где , , причем существует биекция между множеством, состоящим из решений , и множеством, состоящим из решений .

Докажем это утверждение. Равенства , задают в плоскости прямые и соответственно, имеющие фиксированное неравное отношение коэффициентов перед и . Следовательно, эти прямые не совпадают и не параллельны, то есть пересекаются, значит каждому решению соответствует ровно одно решение . Заметим также, что для двух различных решений (прямые ) и (прямые ) получим различные решения для переменных и . Действительно, так как решения для и различны, то без ограничения общности можно считать, что как минимум , откуда следует, что прямые и параллельны. Следовательно, точки и лежат на параллельных прямых и , то есть не могут совпадать.

Значит, существование четырех различных решений для равносильно существованию четырех различных решений для . Система

симметрична относительно , относительно и относительно . Поэтому любое решение попадет в одну из трех групп:

I группа

содержит решение с условием и и 7 его “дубликатов”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно , где
восьмерки решений имеют вид: ;

II группа

содержит решение , у которого ровно одна из двух координат равна , и 3 его “дубликата”, и решение с условием и 3 его “дубликата”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно , где
четверки решений имеют вид: или вид ;

III группа

состоит из единственного решения .

Итог: число решений системы равно , где . Чтобы , нужно, чтобы . Значит необходимо, чтобы система имела ровно 4 решения из II группы. Далее в вычислениях естественно будем учитывать, что .

1 случай.

Без ограничения общности можно считать, что именно . Тогда получим

Имеем решения:
,
,
,
.

2 случай.

Если , то получим

Имеем решения ,
,
,
.