18.28 Симметрия

Заметим, что не является решением неравенства, так как неравенство примет вид Следовательно, неравенство можно привести к виду

Заметим, что неравенство симметрично относительно замены на Следовательно, неравенство будет иметь единственное решение, если этим решением будет один из корней уравнения то есть один из или Причем, например, если — решение неравенства, то при всех должно быть выполнено Отсюда следует, в силу непрерывности левой части в точке что при значение выражения должно быть равно Аналогично для

Подставим

Подставим

Проверим, при каких из найденных действительно при всех где — корень , значение левой части Только эти нам подойдут.

Рассмотрим функцию Она представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел, следовательно, принимает значения, по модулю не меньшие Рассмотрим также функцию

определенную при

1.

Пусть Тогда имеем Так как то проверим, действительно ли при всех имеем Найдем Следовательно, необходимое нам неравенство не выполнено, значит. нам не подходит.

2.

Пусть Тогда имеем Аналогично найдем Следовательно, неравенство не выполнено при всех Значит, нам также не подходит.

3.

Пусть Тогда причем Тогда проверим, выполняется ли при всех Имеем Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию подробнее:

Изобразим ее график. Это гипербола , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что определена при

Видим, что действительно при всех имеем Следовательно, нам подходит.

4.

Пусть Тогда причем Тогда проверим, выполняется ли при всех Имеем Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию подробнее:

Изобразим ее график. Это гипербола , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что определена при

Видим, что действительно при всех имеем Следовательно, нам подходит.

Следовательно, ответ

Решение неравенства при обоих найденных — это