18.28 Симметрия

Систему можно переписать в виде

Сделаем замену Так как замена по обеим неизвестным линейная, то новая система

также должна иметь ровно четыре различных решения.

Заметим, что система симметрична относительно замены на на и перемены местами неизвестных и

Это значит, что если система имеет решение где то система имеет еще 7 решений: Если есть решение где то есть решение то система имеет еще 3 решения: Если же система имеет решение то есть еще 1 решение если есть решение то есть еще 1 решение

Следовательно, система будет иметь ровно четыре различных решения, если выполняется одно из следующих условий: она имеет

одно решение где дающее еще 3 решения;

два решения вида или где и каждое из которых дает еще 1 решение.

1.

Пусть Тогда система примет вид

Полученная система имеет решение, если

2.

Пусть Тогда система примет вид

Эта система имеет решение, если

3.

Пусть Тогда мы получим систему, аналогичную предыдущему случаю, только с переменной Следовательно, здесь мы получим то же значение параметра

Теперь необходимо выполнить проверку: действительно ли при найденных значениях параметра выполняются наши условия.

Система имеет вид

Сделаем замену Тогда первое уравнение системы выполняется для всех Следовательно, из системы получается одно уравнение:

Так как то

Следовательно, мы получаем, что откуда

 

То есть система имеет четыре решения: Значит, нам подходит.

Система примет вид

Поступим аналогично предыдущей проверке. Получим уравнение

Тогда получаем или Откуда получаются 4 решения: Значит, нам также подходит.

Следовательно, итоговый ответ: