18.28 Симметрия

Данное уравнение симметрично относительно замены на Следовательно, если — корень этого уравнения, то также — корень этого уравнения. Единственный корень, не имеющий себе пару, это Следовательно, если среди корней уравнения есть то уравнение имеет нечетное число корней, если же среди корней уравнения нет то количество корней уравнения четно.

Значит, чтобы у уравнения было 3 решения, необходимо, чтобы являлся корнем уравнения.

Пусть Тогда уравнение примет вид

При уравнение примет вид

Уравнение имеет 3 решения, следовательно, нам подходит.

При уравнение примет вид

Если уравнение

имеет одно решение при то уравнение имеет три решения, и тогда нам подходит. В противном же случае это значение параметра нам не будет подходить. Следовательно, исследуем уравнение

при Производная равна нулю при Следовательно, при производная положительна, то есть возрастает; при производная отрицательна, то есть убывает. Так как

то график функции выглядит следующим образом:

Видим, что график функции имеет с горизонтальной прямой две точки пересечения при Следовательно, уравнение имеет 5 решений. Значит, нам не подходит.

При уравнение примет вид

Будем рассуждать аналогично предыдущей проверке. Рассмотрим уравнение

и посмотрим, сколько корней оно имеет на проемтужке Функцию мы уже исследовали, и по рисунку видно, что точек пересечения у графика этой функции с прямой на ровно одна.

Следовательно, уравнение имеет 3 решения, значит, нам подходит.

Следовательно, ответ