18.28 Симметрия

Данная система симметрична относительно перемены местами и Следовательно, если система имеет решение то она также имеет и решение Единственный вид решения, который не имеет себе пару, это тот, у которого абсцисса и ордината одинаковы: при Следовательно, система будет иметь нечетное число решений, если она имеет нечетное число решений вида То есть как минимум одно решение такого вида она точно должна иметь.

Найдем при которых у системы есть решение, для которого выполнено

При система примет вид

Решим эту систему графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом

Рассмотрим второе уравнение. Нули подмодульных выражений (это и ) разбивают плоскость на 7 областей, на каждой из которых каждый модуль раскрывается определенным образом. Будем обозначать каждую область как где на месте каждой стоит знак или обозначающий знак первого, второго и третьего соответственно подмодульного выражения. То есть за мы обозначим область, где и Получим:

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют только одну общую точку — это точка — точка касания прямой (в области ) с окружностью. Следовательно, система имеет единственное решение при Значит, это значение параметра нам не подходит.

При система примет вид

Если сделать замену то мы получим систему

Получили такую же систему, как и в случае проверки Следовательно, при система также имеет единственное решение, значит, нам тоже не подходит.

При система примет вид

Поступим аналогично: решим систему графически.

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют три общие точки — это точки и Следовательно, система имеет 3 решения при Значит, это значение параметра нам подходит.

При система примет вид

Если сделать замену то мы получим систему

Получили такую же систему, как и в случае проверки Следовательно, при система также имеет 3 решения, значит, нам тоже подходит.

Следовательно, ответ