18.28 Симметрия

Система равносильна

Сделаем замену Тогда система примет вид

Так как замена линейная, то количество решений исходной системы и полученной системы совпадают.

Полученная система симметрична относительно замены на а на Следовательно, если она имеет решение то она также имеет и решение Единственный вид решения, не имеющий себе пару, это решение с Следовательно, если система имеет единственное решение, то этим решением является

Итак, пусть Тогда система равносильна одному уравнению:

Это уравнение должно иметь одно решение, и тогда у исходной системы точно среди решений будет ровно одно решение вида

Если то мы получаем линейное уравнение имеющее одно решение. Если то мы имеем квадратное уравнение, следовательно, оно будет иметь одно решение, если его дискриминант равен нулю:

При система примет вид

Получили одно решение, следовательно, нам подходит.

При система примет вид

сложили уравнения системы и получили новое уравнение.

Полученное уравнение имеет одно решение А так как это уравнение является следствием системы, то множество решений системы является подмножеством решений полученного уравнения. Видим, что решение является также и решением системы. Следовательно, при система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

При система примет вид

Полученное уравнение имеет одно решение Видим, что решение является также и решением системы. Следовательно, при система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

Таким бразом, нам подходят все найденные значения параметра и ответ