18.28 Симметрия

Данное уравнение симметрично относительно замены на следовательно, если является его корнем, то и является его корнем. Значит, если среди корней уравнения есть то уравнение имеет нечетное число решений, в противном случае — четное. Следовательно, чтобы уравнение имело 3 решения, среди его решений должен быть корень

Найдем при которых среди корней уравнения есть В этом случае свободный коэффициент левой части должен быть равен нулю:

При этих значениях параметра уравнение примет вид

Это уравнение имеет три решения, если многочлен в скобках имеет два корня, отличные от нуля. Рассмотрим многочлен в скобках при найденных значениях параметра.

Тогда имеем

Значит, нам не подходит.

Имеем

Значит, нам подходит.

Имеем

Запишем условия, требующие наличия двух неравных нулю решений у этого уравнения.

Пусть Рассмотрим квдратичную функцию

Чтобы исходное уравнение имело два неравных нулю корня, уравнение должно иметь ровно один положительный корень. То есть либо оно в принципе имеет один корень и этот корень либо оно имеет два корня, причем один а второй

Выпишем дискриминант уравнения

Если имеет одно решение, то откуда Так как мы рассматриваем только то нужно проверить только

Тогда корень уравнения записывается в виде

и при он Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

Пусть Следовательно, исследуем Тогда уравнение имеет два корня. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось в двух точках. Заметим, что абсцисса вершины параболы

при Следовательно, правая точка пересечения параболы с осью абсцисс будет положительной, если число находится между точками пересечения параболы с осью абсцисс.

Это задается условием

Пересекая эти с получаем

Следовательно, итоговый ответ