18.18 Функции. Сумма взаимно обратных

Пусть . Тогда имеем:

На решение , удовлетворяющее условию задачи, наложены следующие ограничения:

При таких имеем . Так как – возрастающая функция, то наименьшее значение она достигает при наименьшем значении аргумента, следовательно, при найденных имеем .

Условие “У данного уравнения при любом положительном должно быть хотя бы одно решение ” можно переформулировать следующим образом: “Область значений функции при должна содержать в себе луч либо совпадать с ним.”

Если , то и имеем . Все хорошо.

Если , то и получим

Так как – сумма двух взаимно обратных положительных чисел, то , следовательно, . Все плохо.

Если , то функция при не имеет точек разрыва, то есть является непрерывной. При имеем , следовательно, . Если , то . Следовательно, . Все хорошо.