18.18 Функции. Сумма взаимно обратных

Заметим, что не является решением уравнения, поэтому разделим обе части равенства на

Сделаем замену , тогда , откуда , следовательно,

Так как представляет собой сумму взаимно обратных чисел, то , причем соответствует один , соответствует два . Следовательно, исходное уравнение имеет один корень в том случае, когда:

новое уравнение имеет один корень , причем (то есть не существуют);

новое уравнение имеет три одинаковых корня , причем ;

новое уравнение имеет корень такой, что , а другие корни и такие, что ,

1.

Пусть . Тогда

1.1.

При получаем уравнение

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, нам подходит.

1.2.

При получаем уравнение

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, нам подходит.

2.

Пусть . Тогда

2.1.

При получаем уравнение

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, нам подходит.

2.2.

При получаем уравнение

Вторая скобка имеет корень, но он по модулю меньше , следовательно, нам подходит.

Итого