18.08 Алгебра. Исследование замены

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень

Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию

Решим уравнение Если сделать замену причем то уравнение примет вид По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут и

То есть и Заметим, что если, например, то уравнение не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение

Число будет являться решением уравнений или если или соответственно.

Таким образом, исходное уравнение

будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.

1) Тогда либо один из корней или должен оказаться давая противоречие с условием либо один из корней или должен оказаться поскольку при он не будет удовлетворять условию а при будет совпадать с уже имеющимся корнем При этом другой корень должен оказаться и

Это условие задается совокупностью:

Решением совокупности будут

2) , и Следовательно,

Объединяя случаи, получаем окончательно