18.09 Алгебра. Исследование замены

Пусть

Тогда уравнение примет вид:

Рассмотрим функцию При раскрытии модулей итоговый коэффициент перед определяется выражением и будет иметь тот же знак, что слагаемое Тогда при функция монотонно убывает, а при — монотонно возрастает. То есть максимальное значение функции достигается при и равно

Изобразим эскиз графика функции

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения ровно одно решение;
• если то у уравнения нет решений.

Тогда чтобы исходное уравнение имело шесть различных решений, нужно, чтобы уравнение имело три различных решения, удовлетворяющих условию

Первое решение уравнения получаем, приравняв множитель левой части к нулю — это Найдем, когда оно удовлетворяет условию

Рассмотрим уравнение, получаемое из второго множителя:

Данное квадратное уравнение имеет не более двух решений. Тогда чтобы уравнение имело три подходящих решения, необходимо, чтобы уравнение имело ровно два решения, удовлетворяющих условию

Пусть — квадратичная функция с ветвями вверх и вершиной

Тогда чтобы уравнение имело два различных решения, каждое из которых меньше необходимо выполнение следующих условий:

Заметим, что так как При этом

Получим, что В данном случае условие на первый корень всегда выполняется.

Исключим случаи, когда корень является корнем уравнения Для этого подставим и найдём такие значения при которых

Отсюда получаем

Тогда исходное уравнение имеет 6 различных решений при