18.09 Алгебра. Исследование замены

Пусть Тогда уравнение примет вид:

Проведём анализ функции

• Заметим, что график функции симметричен относительно прямой Действительно:

  

  То есть для любого

• — точка глобального минимума функции Действительно, слагаемое принимает своё наименьшее значение при В этой же точке слагаемое обращается в то есть в своё наименьшее возможное значение.
• Функция не ограничена сверху, так как первое слагаемое не ограничено сверху, а второе слагаемое по модулю не превосходит 1.
• — минимальное значение функции.

Тогда получим, что:

• если то у уравнения решений нет;
• если то у уравнения единственное решение ;
• если то у уравнения по крайней мере два решения.

Если то получаем:

Отсюда — это значение параметра нам подходит.

Рассмотрим случаи, когда уравнение будет иметь хотя бы один корень

Случай 1. В этом случае уравнение линейное и будет иметь единственный корень То есть этот случай нам подходит.

Случай 2. В этом случае уравнение квадратное:

Пусть Тогда уравнение будет иметь хотя бы один корень в двух случаях:

• имеет единственный корень
• имеет два различных корня, из которых хотя бы один больше

1.

Рассмотрим первый случай. Он достигается при выполнении следующих условий:

То есть данный случай невозможен.

2.

Рассмотрим второй случай. Чтобы найти значения параметра, при которых он достигается, поступим следующим образом. Найдём сначала значения параметра при которых будет два различных решения относительно и из них исключим такие значения при которых оба корня окажутся не более

Два различных решения будет при

Оба корня будут не более при выполнении следующих условий:

Таким образом, хотя бы одно решение получается, если

Тогда исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при