18.09 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену Тогда получаем

Так как а — возрастающая функция, то имеем:

Следовательно, Значит, если уравнение относительно имеет решения и они не принадлежат отрезку то для таких мы не получим значений для Таким образом, полученное после замены квадратное при всех а уравнение либо должно не иметь решений, либо может иметь решения из промежутка

Рассмотрим дискриминант уравнения

Следовательно, значения параметра соответствующие отрицательному дискриминанту, нам подходят.

Если то имеется единственный корень

Подходит только отрицательный корень, получаемый при

Если то имеются два различных корня и Заметим, что абсцисса вершины параболы такая:

Следовательно, оба корня не могут быть больше 2, поскольку они лежат по разные стороны от Тогда нас удовлетворит любой из двух вариантов:

• оба корня меньше 0,5, то есть значение функции в точке 0,5 положительно и абсцисса вершины левее 0,5;
• один корень меньше 0,5, другой корень больше 2, то есть числа 0,5 и 2 лежат между корнями, то есть значение функции в этих точках отрицательно.

Описанные выше случаи составляют следующую совокупность:

Тогда исходное уравнение не имеет решений при