18.08 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену Тогда и исходное уравнение эквивалентно следующей системе:

При этом зная, что решение системы можно найти корни исходного уравнения, сделав обратную замену:

(1)

Такие корни будут различными, а значит исходное уравнение будет иметь как минимум два различных корня.

Найдем значения при которых уравнение имеет хотя бы один положительный корень.

При уравнение примет вид

Тогда исходное уравнение будет иметь корни по формуле (1), то есть корней как минимум два, что нам подходит.

При уравнение будет квадратным.

Квадратное уравнение имеет два (не обязательно различных) корня при Обозначим их за и . По теореме Виета произведение корней равно то есть оба корня одного знака. При этом также по теореме Виета сумма корней равна откуда следует, что оба корня положительны.

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один положительный корень при любых для которых Найдем значения при которых верно данное неравенство:

Получили, что исходное уравнение имеет хотя бы два корня при одном из следующих условий:

Таким образом,