18.09 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену переменной . В условии нас просят найти такие значения параметра , при которых исходное уравнение имеет ровно один положительный корень. Заметим, что

Решим замену (то есть выразим из нее через ), чтобы понять, сколько и каких решений исходного уравнения соответствует каждому решению уравнения, полученного после замены. Заметим, что при и

Значит, каждому значению соответствует ровно один . Таким образом, достаточно найти все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно один корень на луче . Это возможно в двух случаях:

1. Если уравнение имеет единственный корень, и он больше 1.

2. Если уравнение имеет два корня, и ровно один из них больше 1.

Рассмотрим оба этих случая:

1. Если уравнение имеет единственный корень, то

При получаем уравнение

то есть его единственное решение удовлетворяет условию задачи.

При получаем уравнение

то есть его единственное решение не удовлетворяет условию задачи.

2. Уравнение имеет два корня, ровно один из которых больше 1, если его корни лежат по разные стороны от 1 или если меньший из корней равен 1.

• Корни квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом находятся по разные стороны от 1 тогда и только тогда, когда значение функции в точке отрицательно. Тогда имеем:

  

• Если — корень, то

  

  Но при дискриминант уравнения равен 0, значит, при таком значении параметра корень — единственный, при этом он не удовлетворяет условию задачи.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один положительный корень при .