18.08 Алгебра. Исследование замены

Данное уравнение с помощью замены сводится к квадратному:

Далее заметим, что

Найдем значения при которых уравнение не имеет решений либо имеет решения Тогда все остальные значения пойдут в ответ.

Рассмотрим функцию

Для выполнения условий выше ее график — парабола с ветвями вверх — должна выглядеть, как на одной из картинок:

Рис. 1: уравнение не имеет корней;

Рис. 2: уравнение имеет один корень который находится либо левее 0, либо правее 1;

Рис. 3: уравнение имеет два корня, причем либо оба корня находятся левее 0, либо оба корня находятся правее 1, либо один корень левее 0, а другой корень правее 1.

Все эти случаи записываются в совокупность

Здесь — абсцисса вершины параболы, дискриминант

Решив данную совокупность, получим

Следовательно, исходное уравнение имеет решение при

Замечание.

По теореме Виета корнями квадратного уравнения

являются и

Тогда с учетом ограничения исходное уравнение имеет решение, если Отсюда получаем тот же ответ