Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Алгебра. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2556

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

| 2 | 2 |cos x+ 2sinx − 2a|= cos x+ sinx +2a

имеет на промежутке [ π- ) − 2;0 единственный корень.

Показать ответ и решение

Так как cos2x =1 − sin2x, то уравнение равносильно

2 2 |1 − sin x+ 2sinx − 2a|= 1− sin x + sinx+ 2a

Сделаем замену t =sinx. Тогда если нам было нужно, чтобы уравнение имело один корень x на промежутке [− π-;0) , 2 то новое уравнение должно иметь один корень t на промежутке [− 1;0).

После замены имеем:

|1− t2+ 2t− 2a|= 1− t2+ t+2a ⇔

( ( |||t2− t− 1− 2a≤ 0 (∗) |{ 1[− t2 +t+ 2a ≥0 |||{⌊t1 = 4a ⇔ 1− t2+2t− 2a= 1 − t2+ t+ 2a ⇔ || 1 |( 1− t2+2t− 2a= − (1 − t2+ t+ 2a) |||||⌈t2 = − 2 ||( t3 = 2

Заметим, что корень t3 не удовлетворяет условию, то есть не лежит в промежутке [− 1;0). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело один корень на [−1;0), нужно выполнение одного из случаев:

1) корень t2 подходит и корень t1 не подходит или совпадает с t2;

2) корень t1 подходит и корень t2 не подходит.

Рассмотрим эти случаи.

1) Чтобы подходил t2, он должен удовлетворять неравенству (∗). Чтобы не подходил t1, он должен либо не принадлежать [−1;0), либо совпадать с t2, либо не удовлетворять неравенству (∗).

Таким образом, получаем систему

(|| 1 + 1− 1− 2a≤ 0 |||| 4⌊ 2 |||| 4a< − 1 { } { ||4a≥ 0 ⇔ a ∈ − 1 ∪ [0;+∞ ) ||| || 1 8 ||||| ||4a= − 2 ||( ⌈ 2 16a − 4a − 1− 2a > 0

2) Чтобы подходил t1, он должен принадлежать [− 1;0) и удовлетворять неравенству (∗). Чтобы не подходил t2, он должен не удовлетворять неравенству (∗) и не совпадать с t1.

Таким образом, получаем систему

( |||| −12≤4a < 0 ||{ 16a − 6a − 1 ≤ 0 | 1 + 1− 1− 2a> 0 ⇔ a ∈∅ ||||| 4 2 1 ( 4a⁄= − 2

Объединяя случаи, получаем окончательно

{ 1} a∈ − 8 ∪[0;+ ∞)
Ответ:

{ 1} a ∈ −8 ∪ [0;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Не рассмотрен случай совпадения корней, из-за чего ответ может отличаться от верного невключением 1 a= −8

3

Найдены все корни полученных уравнений и верно составлены неравенства для выполнения условия задания, но либо решение не завершено, либо решение содержит ошибку

2

Выполнен верный переход к совокупности двух уравнений с учетом ограничения на правую часть данного уравнения и с помощью верных преобразований получены два квадратных уравнения относительно новой переменной, например, t и указаны ее допустимые значения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!