18.08 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену

Тогда уравнение примет вид

Пусть — решение этого уравнения. Тогда после обратной замены получим уравнение

Заметим, что Следовательно, если то уравнение имеет 2 решения на указанном в условии отрезке. Если или — то одно решение на указанном в условии отрезке. При остальных решений не будет.

Уравнение при линейное, при остальных — квадратное. Рассмотрим эти два варианта по отдельности.

1) Тогда уравнение примет вид Решениями такого уравнения являются все То есть мы получаем бесконечно много значений для следовательно, бесконечно много значений для Такое значение параметра нам подходит.

2) Заметим, что уравнение можно переписать в виде

Так как то можно разделить обе части равенства на

Дискриминант этого уравнения для любого Следовательно, уравнение имеет два различных корня и

Вспомним еще раз, что для отрезка

каждому соответствует два значения

каждому соответствует одно значение

каждому не соответствует ни одно значение

Чтобы исходное уравнение имело два и больше решений на отрезке необходимо выполнение одного из случаев:

а — любое число;

или или

Рассмотрим функцию

Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс в двух точках.

Случай 1.

а — любое число.

Тогда подходящие нам картинки выглядят так:

Рис. 1: когда — это левая точка пересечения параболы с осью абсцисс. Тогда число -1 должно находиться левее левого корня, а -0,5 — либо находиться между корнями, возможно совпадая с ними, либо находиться правее правого корня.

Рис. 2: когда — это правая точка пересечения параболы с осью абсцисс. Тогда -1 должно находиться либо левее левого корня, либо между корнями, возможно, совпадая с ними, а -0,5 — совпадать с правым корнем или быть правее него.

Опишем в виде равенств/неравенств эти рисунки.

Рис. 1:

Рис.2:

Получаем для обоих рисунков:

Далее имеем:

Тогда для обоих рисунков получаем следующие значения параметра:

Случай 2.

или или Тогда подходящие нам картинки выглядят так:

Рис. 3: -0,5 находится левее левого корня, 1 совпадает с правым корнем или находится правее него:

Рис. 4: -1 совпадает с левым корнем, -0,5 находится между корнями, 1 совпадает с правым корнем или находится правее него:

Тогда исходное уравнение имеет более одного решения на указанном отрезке при