18.08 Алгебра. Исследование замены

Воспользуемся формулой разности логарифмов и приведем уравнение к виду

причем мы имеем ограничение и , что можно записать в виде одного неравенства .

Сделаем замену и исследуем новую переменную. Для этого введем еще одну промежуточную неизвестную

Тогда имеем следующее:

Так как функция – обратная пропорциональность (за исключением случая , который мы сейчас рассмотрим отдельно), то есть – строго монотонная, то каждому значению соответствует не более одного . Функция также является строго монотонной, поэтому каждому будет соответствовать не более одного . Причем можно дополнить: различным соответствуют различные , а различным – различные .

Рассмотрим случаи , и :

• , тогда , график представляет собой убывающую гиперболу, расположенную в 1 и 3 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются и . Следовательно, значениям соответствуют , а им в свою очередь соответствуют .
• , тогда , график представляет собой возрастающую гиперболу, расположенную в 2 и 4 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются и . Следовательно, значениям соответствуют , а им в свою очередь соответствуют .
• , тогда , при . Значению соответствует .
  

Новое уравнение с является квадратным, то есть может иметь от нуля до двух корней:

Мы ищем те , при которых исходное уравнение имеет два решения, значит, если это , то при нем уравнение должно иметь два положительных корня. Если это , то при нем должно быть два отрицательных корня. А если , то точно должно являться решением (есть другие решения или нет и какие они – нам неважно).

Заметим, что можно преобразовать:

Найденные корни совпадают при и равны . Поэтому это значение параметра нужно исключить. При нам подходят , получаемые из