18.08 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену . Исследуем ее. Так как , то . Тогда , а .

При имеем два корня , при имеем один корень . При остальных не имеем корней .

Чтобы неравенство было справедливо для любого допустимого , нужно, чтобы решение неравенства с

содержало в себе множество . Преобразуем неравенство, учитывая, что

Заметим, что .

Дискриминант: .

Рассмотрим параболу и варианты ответа для неравенства :

Имеет смысл рассматривать только первую верхнюю, а также все три нижние.

1) . Тогда нужно, чтобы числа 1 и 2 лежали в месте, следовательно,

Заметим, что для параболы с ветвями вверх условие на дискриминант необязательно, когда есть хотя бы одна точка, в которой значение функции отрицательно.

2) Левая нижняя картинка.

3) Средняя нижняя картинка. и , следовательно, . Уже невозможно.

4) Правая нижняя картинка. (при ) и . Либо находится в месте (что невозможно, так как ), либо находится в месте. Это задается следующими условиями

Объединим все полученные значения: .

Расшифровка:
– до левого корня,
– в левом корне,
– между корнями,
– в правом корне,
– правее правого корня.