18.08 Алгебра. Исследование замены

Заметим, что по ОДЗ . При всех остальных аргумент логарифмов равен

Так как – сумма двух взаимно обратных чисел, которая по модулю , то

В виду того, что это выражение не может быть отрицательным, так как находится в аргументе логарифма, заключаем, что

Сделаем замену , следовательно, . Уравнение приобретает вид

. Чтобы уравнение имело решения (только тогда могут быть решения относительно ), нужно, чтобы , откуда .

1) Рассмотрим случай отдельно. Тогда единственный корень уравнения равен

Данный корень дает корень . Следовательно, это нам подходит.

2) Пусть . Тогда у уравнения два корня и нужно, чтобы хотя бы один из них находился в промежутке . Пойдем от противного. Пусть ни один из корней не лежит в этом промежутке, то есть оба больше нуля. Тогда нам подходит такая парабола :

Это положение числа 0 задается следующими условиями

Следовательно, противоположные соответствуют тому, когда хотя бы один корень из промежутка , то есть это . Пересечем с дискриминантом и получим . Также ранее нам подошло . Следовательно, ответ: .