18.08 Алгебра. Исследование замены

Выражение

Сделаем замену , тогда уравнение примет вид (и сразу введем функцию)

Заметим, что , следовательно, исходное уравнение не будет иметь решений, если новое уравнение не будет иметь решений либо будет иметь решения, но не из этого отрезка.

1) , тогда уравнение линейное и приобретает вид . Такое уравнение не имеет решений, следовательно, данное нам подходит.

2) Пусть . Тогда
. Рассмотрим случаи:

2.1) , откуда . Подходит.

2.2) , тогда

Данное дает решения , следовательно, не подходит.

2.3) . Тогда уравнение имеет два корня и нужно, чтобы они не принадлежали промежутку . Засчет того, что вершина параболы , то может быть единственный вариант: один корень , второй (отпадает случай, когда оба , и случай, когда оба ). Рассмотрим параболу:

Положение точек задается следующей системой:

Пересечем это с условием дискриминанта и получим .