18.09 Алгебра. Исследование замены

Посмотрим, как связаны между собой выражения в скобках. При умножении их друг на друга мы сможем воспользоваться формулой разности квадратов, поэтому это и попробуем:

Естественно, это выполняется при условии .
Это ограничение на мы позже учтем. И стоит заметить, что о неотрицательности другого подкоренного выражения говорить не нужно, так как оно на единицы больше этого, значит, из неотрицательности будет следовать неотрицательность .

Таким образом, будет удобна следующая замена (как раз потому что их произведение не зависит от ):

.

Тогда .

Запишем, как теперь выглядит уравнение:

Стоит объясниться? Итак, во втором равенстве в левой части мы получили сумму взаимно обратных чисел. Ее абсолютное значение при любых значениях этих чисел не меньше и равно , если эти числа одинаковые и равны .

Заметим, что уравнение на своей области определения равносильно

В нашем случае (один корень , а второй , а является их суммой), поэтому получаем

Заметим, что при любом значении параметра является решением исходного уравнения (Единственное, с чем могла бы быть проблема – это с тем, что при нем какое-то подкоренное выражение было бы отрицательным. Но не в этот раз). Поэтому второе равенство полученной совокупности не должно иметь решений, либо должно иметь одно решение . Но коль ему не удовлетворяет, будем требовать от второго равенства отсутствия решений. Выше было сказано, что , то есть сумма корней, , причем равенство достигается, когда . Значит, если , то есть (раз оно под корнем), то , следовательно, . Это как раз таки и дает нам то, что только и будет решением исходного уравнения.

Поэтому быть дискриминанту трехчлена отрицательным:

Если вы не заметили этой оценки снизу для суммы корней, то нам бы помогло следующее. Раз сумма двух взаимно обратных чисел равна тогда и только тогда, когда они одинаковые и равны по , получается вот так:

где , . Ну и из того, что сумма и разность двух корней совпадают, мы бы и получили, что второй корень .