18.08 Алгебра. Исследование замены

Выражение определено при всех и принимает все значения, кроме . Если сделать замену , то имеем , причем каждое такое значение дает ровно одно значение для . Получим следующее уравнение:

Оно линейное при и квадратное при . Чтобы исходное уравнение не имело решений, нужно, чтобы новое уравнение: 1) не имело решений; 2) имело решения и все они были из промежутка .

Если , получим: . Подходит.

Если . Найдем, при каких у уравнения есть корень :

Найдем, при каких у уравнения есть корень :

Подбором находим рациональный корень . С помощью деления в столбик левой части на находим разложение:

Выпишем дискриминант:

При дискриминант , следовательно, имеется один корень , который не равен . Следовательно, он должен быть . При он равен нулю, а при равен . Подходит .

При дискриминант положительный. Будем рассматривать уравнение в виде

При один корень , а другой . Все хорошо.

При у уравнения два корня, не равные нулю. Если один из них , то другой должен быть отрицательный, значит, и произведение отрицательное:

Все этому удовлетворяют.

При всех оставшихся у уравнения два корня, не равные ни , ни . Значит, оба должны быть отрицательными, то есть их произведение должно быть положительным, а сумма – отрицательной: