18.08 Алгебра. Исследование замены

Сделаем замену и исследуем ее. Если взять за то и

Графиком функции является часть гиперболы при . Чтобы построить эту гиперболу, нужно гиперболу сдвинуть на 1 влево и на 1 вверх. Тогда при получим часть ветви:

То есть Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение

имеет хотя бы один корень из промежутка

Заметим, что это уравнение может вырождаться в линейное. Поэтому рассмотрим следующие случаи:

1)

Тогда уравнение примет вид

Следовательно, этот случай нам не подходит.

2)

Тогда уравнение квадратное и имеет решения, если его дискриминант неотрицателен:

2.1)

откуда Тогда единственным корнем уравнения является абсцисса вершины параболы, следовательно,

Из чисел в этом промежутке лежит лишь число То есть это значение параметра пойдет в ответ.

2.2)

откуда Тогда, учитывая, что ветви параболы не зафиксированы и случай мы рассмотрим отдельно, а также то, что при этих значениях параметра (то есть оба корня не могут лежать в промежутке ), нам подходят следующие 4 случая:

то есть

Отсюда, так как произведение корней равно получаем, что второй корень равен Таким образом, этот случай нам не подходит, так как нет ни одного корня из промежутка

Пусть Рассмотрим каждый рисунок в отдельности:

1:

Ветви параболы направлены вверх, число 1 находится между корнями, число 0 находится левее меньшего корня либо совпадает с ним.

Эта ситуация задается следующей системой:

2:

Ветви параболы направлены вниз, число 1 находится между корнями, число 0 находится левее меньшего корня либо совпадает с ним.

Эти две системы можно объединить в следующую:

3:

Ветви параболы направлены вверх, число 1 находится правее большего корня, число 0 находится левее большего корня либо совпадает с ним.

Если найти множество значений параметра, при которых число 0 находится правее большего корня при условии, что ветви направлены вверх, то при всех число 0 находится левее большего корня или совпадает с ним (при выполнении всех условий тех случаев, в которых мы находимся, то есть при И ). Тогда условие нашей картинки будет выглядеть следующим образом:

(1)

Найдем

Тогда система (1) равносильна:

Пересекая с и получаем значения параметра, идущие в ответ:

4:

Ветви параболы направлены вниз, число 1 находится правее большего корня, число 0 находится левее большего корня либо совпадает с ним.

Аналогично предыдущему случаю (но ветви направлены вниз):

(2)

Найдем

Тогда система (2) равносильна:

Объединяя с получаем итоговый ответ