.20 Теорема о движении центра масс

1) В момент прохождения шариком нижней точки своей траектории его скорость горизонтальна и направлена слева направо. Обозначим эту скорость через . Очевидно, что скорость тележки направлена в противоположную сторону. Обозначим ее через . Движение шарика, как и движение тележки, мы рассматриваем в неподвижной системе координат. По закону сохранения энергии можно записать

Здесь потенциальная энергия шарика отсчитывается от уровня, проходящего через нижнюю точку траектории шарика, поэтому в исходном положении шарик обладает только потенциальной энергией, а в нижней точке – только кинетической. Поскольку в горизонтальном направлении сумма действующих на систему тележка – шарик сил равна нулю, в любой момент времени импульс системы в горизонтальном направлении равен нулю:

Решая совместно систему двух уравнений, получим, что искомая скорость тележки равна

2) Так как горизонтальный импульс системы равен нулю, во время колебательных движений центр тяжести нашей системы остается неизменным. Удаление тележки от центра тяжести будет максимальным в тот момент, когда стержень находится в горизонтальном положении. Обозначим расстояние (по горизонтали) от центра тяжести системы до центра тележки через , тогда расстояние от шарика до центра тяжести системы будет . По правилу моментов можно записать

Отсюда амплитуда колебаний тележки будет равна