.20 Теорема о движении центра масс

Скорость центра масс в лабораторной системе координат составляет

Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс. Скорость шарика массой до взаимодействия с пружиной в этой системе равна

а скорость шарика массой m направлена в противоположную сторону и равна по величине

Как только шарик массой достигнет пружины, скорости шариков начнут уменьшаться, а пружина будет сжиматься. В некоторый момент, когда вся кинетическая энергия шариков перейдет в потенциальную энергию упругой деформации пружины, шарики остановятся, а затем начнут ускоряться в противоположных направлениях. Когда пружина примет свою первоначальную длину, шарик массой оторвется от пружины и будет иметь скорость, равную и направленную в другую сторону по отношению к первоначальной. Но это – скорость в системе центра масс, а нам нужно найти скорость этого шарика в лабораторной системе отсчета.
Для этого перейдем обратно в лабораторную систему отсчета. В этой системе скорость шарика массой , очевидно, будет равна

Относительная потеря кинетической энергии шарика составит

Для ответа на второй вопрос заметим, что когда шарик массой находится в контакте с пружиной, эта ситуация эквивалентна колебаниям шарика на горизонтально расположенной пружине, один конец которой закреплен. Закрепленным концом является центр масс, который остается неподвижным в системе отсчета, связанной с центром масс. Если длина нашей пружины , то длина эквивалентной пружины составляет

Теперь нужно сообразить, чему будет равна жесткость пружины длиной , если жесткость исходной пружины . Это право мы предоставляем читателю, а сами напишем готовый результат:

Очевидно, что время контакта шарика массой с пружиной равно половине периода гармонических колебаний шарика на эквивалентной пружине: