12.11 Поиск наибольшего/наименьшего значения у функций с тригонометрией

Функция определена при всех . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

Найдем нули производной:

Найдем точки, где производная не существует:

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок попадают нули производной .

Тогда функция убывает на , затем возрастает на , затем снова убывает на , следовательно, наибольшее значение принимает в одной из точек или . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

Так как и то имеем:

Тогда получаем, что — наибольшее значение.