Истинные и ложные высказывания

(a) Предположим, что во всех месяцах не более именинников. Тогда всего в летней школе не более человек, хотя на самом деле их — противоречие. Значит, утверждение верно.

(b) Пусть все участники родились в январе, а в остальных месяцах именинников нет. Тогда есть месяца, в которых именинников, что не подходит под условие. Утверждение неверно.

(c) Предположим, что не более, чем в двух месяцах не более именинников. Тогда в остальных месяцах хотя бы по именинников. Но тогда всего хотя бы человек в летней школе, однако на самом деле их — противоречие. Утверждение верно.

(d) Построим отрицание: "во всех месяцах не более дней рождений и месяцев, в которых не менее дней рождения, не более двух". Тогда всего имеется не более двух месяцев, в которых дней рождения ровно а в остальных не менее, чем ти месяцах не более именинников. Тогда всего не более человек в школе — противоречие. Утверждение верно.

(f) Построим отрицание: "в любых семи месяцах в сумме хотя бы 30 именинников". Упорядочим месяца по возрастанию числа именинников. Пусть в них именинников. Тогда из нашего отрицания получаем

Значит, хотя бы одно из чисел не менее Значит, и все последующие не менее следовательно Тогда число именинников в сумме

Противоречие. Значит, исходное утверждение верно.

(e) В пункте (f) доказано, что найдётся семь месяцев с суммой именинников не больше 29. Эта же сумма не больше 31.