.04 Закон сохранения и изменения энергии

Сравним угловые скорости стержней в тот момент, когда они будут расположены под некоторым углом к поверхности. Итак, рассмотрим первый стержень (с одним телом). Когда он окажется под углом к вертикали, убыль потенциальной энергии буде равна

где – начальный угол между стержнем и вертикалью (см. рисунок). Поэтому закон сохранения механической энергии дает

где и – скорость тела и угловая скорость стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом к поверхности. Отсюда находим

Рассмотрим теперь второй стержень в тот момент, когда он будет наклонен под углом к поверхности (см. рисунок). Убыль потенциальной энергии для него будет определяться выражением

А закон сохранения механической энергии для этого стержня дает

где – угловая скорость второго стержня в тот момент, когда он будет наклонен под углом к поверхности. Отсюда находим

Отсюда следует, что отношение времен, которые стержень затрачивает на прохождение каждого малого поворота равно

И не зависит от угла . Это значит, что и отношение полных времен движения такое же. Или

(Официальное решение Росатом)

Второй способ решения:
Система представляет собой физический маятник. Вращательное движение стержня с грузами описывается уравнением динамики вращательного движения

где - момент силы относительно некоторой точки;
- момент инерции системы относительно некоторой точки;
- угловое ускорение.
Рассмотрим уравнение динамики вращательного движения относительно точки крепления. Как известно, момент инерции точечной массы на расстоянии от оси вращения выражается формулой

Тогда аналогично для второго стержня

Будем считать,что время падения не зависит от угла, поэтому углы отклонения от положения равновесия будем считать малыми.
Моменты силы относительно точки опоры тогда будут равны

Тогда получаем следущие уравнения вращательного движения

Тогда угловые ускорения

Угловое ускорение связано с временем падения. Для малых углов движение можно приблизить гармоническим осциллятором, где период связан с угловой частотой . Вспомним уравнения гармонического осциллятора

Время падения ( четверть периода)

Тогда для первой ситуации

Для второй