.04 Закон сохранения и изменения энергии

Рассмотрим промежуточное положение системы, когда радиусы, проведённые из центра полуокружности к бусинкам, повернулись на угол относительно своих первоначальных положений. Скорости бусинок обозначим через и . Отсчитывая высоты от центра полуокружности, запишем закон сохранения энергии:

Здесь – радиус полуокружности, . Так как длина стержня не меняется при движении, то проекции скоростей на направление стержня совпадают. Из простых геометрических соображений следует, что при любом значении угла скорости бусинок образуют со стержнем углы в Получаем:

Исключая скорость , находим как функцию угла :

Функция равна:

Преобразуем эту функцию с помощью метода вспомогательного аргумента:

Вспомогательный аргумент определяется двумя равенствами:

Угол лежит в первой четверти. Поэтому его можно выразить через арктангенс:

Очевидно, что функция максимальна при :

Тогда максимальная скорость первой бусинки равна:

Ответ также можно представить в виде, удобном для приближённого вычисления:

Следует отметить, что угол определяет положение равновесия системы. Действительно, приравнивая моменты сил тяжести относительно центра полуокружности, получаем:

Поскольку бусинки совершают колебания около положения равновесия, можно сразу считать очевидным, что максимальные скорости достигаются в этом положении.

(Официальное решение Курчатов)