Симедианы

Пусть окружность касается сторон треугольника в точках соответственно; — середины дуг и не содержащие остальных вершин треугольника.

Прямые параллельны, а в силу леммы Архимеда тройки точек и лежат на одной прямой, значит, гомотетия с центром в точке переводящая отрезок в переводит прямые и в касательные к описанной окружности в точках и следовательно, точку — в точку пересечения касательных. Это значит, что является симедианой треугольника но дуги и равны, то есть является медианой данного треугольника и проходит через середину То же достаточно показать про прямую

По лемме о трезубце но дуги и равны, а поэтому стягивают равные хорды. Аналогично, следовательно, является параллелограммом, откуда и следует требуемое.